24/06/07
Esame d’estate 2006/2007
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•Per visualizzare in modo corretto le figure associ=
ate a questa presentazione occorre installare sul propri=
o PC
il Plug-in di Cabri =
Plus,
scaricabile gratuitamente all’indirizzo
http://www.cabri.com/direct/=
cabri2plus-plugin
<=
span
style=3D'font-size:75%'>•Ovviamente bisogna aver installato anche Cabri Plu=
s
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Problema 2
Si consideri un cerchio di raggio r
1.Tra
i triangoli isosceli inscritti in C si trovi quello di area =
massima
2.Si
denoti con Sn l’area del poligono regolare=
di n
lati inscritto in C. Si
dimostri che Sn=3Dn/2*r=
2<=
/span>sen(2p/n) e si trovi un’analoga espressione per il poligono=
di n
lati circoscritto a C&=
#13;
<=
span
style=3D'font-size:75%'>3.Si
calcoli il limite di Sn per n che tende all’infinito=
4.Si
spieghi in che cosa consista il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si tr=
atti
di un problema risol=
ubile
o meno.
<=
span
style=3D'font-size:75%;visibility:hidden'>•
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1. Tra i
triangoli isosceli inscritti in C
si trovi quello di area massima
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Dato
un cerchio di raggio r inscriviamo in esso un =
triangolo isoscele
•Sul diametro AA’=
; =
fissiamo
il punto H e da H portiamo la perpendicolare ad AA’=
intersecando
C in B e B’. Il triangolo ABB’ è inscritto
in C ed isoscele sulla base BB’
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Cambiando
la posizione di H su AA’ cambia la forma di ABB’, cambia il suo perimetro e cambia la su=
a area
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Posto A=
H=3Dx,
con 0<x<2r, si avrà:
<=
span
style=3D'visibility:hidden'>•
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Posta
l’area=3Dy, è possibile studiare l’andamento =
del grafico di y in funzione di x
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In
particolare è possibile determinare il triangolo di <=
span
style=3D'position:absolute;top:12.75%;left:5.99%;width:88.2%;height:6.0%'>=
area massima studiando il segno di y’=
•Il triangolo di area
massima è quello che ha AH=3D3r/2, cioè il
triangolo equilatero.
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2. Si denoti …
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Il
poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza
•È formato da n <=
/span>=
triangoli
isosceli di lati r ed angolo al vertice pari
a 2p/n
•Da un noto teorema di
trigonometria, indicando con S1 l’area di ciascuno <=
/span>=
degli
n triangoli e con Sn l’area totale, =
abbiamo:
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Poligono circoscritto
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Anche
in questo caso il poligono è formato
da n triangoli isosceli
•L’altezza di
ciascuno di essi è r
=
•Il lato si
ottiene dividendo r per il coseno di a/2, dove=
a =
è
l’angolo al vertice di ciascun triangolo
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3. Si calcoli il limite di Sn<=
/span>
•Ponendo 2p/n=3Dt e
sfruttando un noto limite notevole otteniamo:
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4.
Quadratura del cerchio
http://it.wikipedia.org/wiki=
/Quadratura_del_cerchio
•Il problema è quello di costruire, usand=
o solo
=
quadrato c=
on la stessa area di un dato cerchio . Il problema risale all'invenzione della geome=
tria,
e ha tenuto occupat=
i i
matematici per secoli. Non fu che nel compasso che rende il problema =
difficile. Se si possono usare altri semplici
strumenti, come ad esempio qualcosa che può disegnare una Una soluzione richiede la costruzione del numer=
o p 1/2 ,=
e
l'impossibilità di ciò deriva <=
span
style=3D'font-size:50%'>dal fatto che
‹intestazione›
‹data/ora›<=
span
style=3D'font-size:67%;mso-special-format:lastCR'>
Fare clic per modificare gli stili del testo dello schema=
3;
Secondo livello
Terzo livello
Quarto livello
Quinto livello
‹piè di pagina›
‹N›
' + ENDSHOW_MESG + '
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No=
te![](3D"buttons.gif")
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![](3D"slide0010_image011.gif"){kind=link}
![](3D"slide0013_image015.gif"){kind=link}
![](3D"slide0014_image017.gif"){kind=link}